Per favore studio di funzione y = e^(1/x)?

Answer 1

y=e^(1/x)
1. Dominio
Si tratta di una funzione trascendente, in particolare esponenziale, fratta per cui il denominatore non deve annullarsi
1/x ⇒ x≠0
Dominio=(-oo,0) U (0,+oo)
2. Intersezione con gli assi cartesiani
2.1 Asse x. L’asse ha equazione y=0 per cui si tratta di risolvere il sistema
{y=0
{y=e^(1/x) che è impossibile. Nessuna intersezione
2.2 Asse y. L’asse ha equazione x=0 per cui si tratta di risolvere il sistema
{x=0
ma questo è un punto fuori dominio. Anche in questo caso nessuna soluzione.
3. Segno y(x)
Si tratta di una funzione esponenziale quindi positiva laddove definita.
4. Pari/Dispari
Ovviamente NON può essere dispari essendo solo positiva. Consideriamo
y(-x)=e^(1/-x)=1/e^(1/x) ≠ y(x) NON è neppure pari.
5. limiti e asintoti
5.1 lim y(x)=eº=1
x→-oo
5.2 lim y(x)=eº=1
x→+oo
Siamo in presenza di un asintoto orizzontale di equazione y=1
5.3 lim y(x)=0
x→0⁻
5.4 lim y(x)=+oo
x→0⁺
Siamo in presenza di un asintoto verticale laterale di equazione x=0
x=0 risulta essere un punto di discontinuità di 2° specie.
6. Massimi / minimi assoluti
Il teorema di Weirestrass non ci supporta sull’esistenza essendo il dominio NON chiuso ne limitato. Infatti NON esistono. In particolare
6.1 Massimo assoluto
il limite 5.4 ci assicura che SUP y(x)=+oo e quindi nessun Massimo assoluto
6.2 minimo assoluto
il limite 5.3 ci assicura che INF y(x)=0, quindi essendo y(x) positiva lo zero potrebbe essere il candidato ideale, peccato che non viene assunto come valore dalla funzione quindi, nessun Minimo assoluto
7. Massimi/minimi relativo
7.1 Derivata prima
y'(x)=-e^(1/x)/x²
7.2 punti stazionari
y'(x)=0
Nessun valore, quindi nessun punto stazionario, Ne minimi ne massimi relativi
7.3 Crescenza / Decrescenza
La derivata prima è negativa in tutto il dominio, per cui
i) La funzione decresce in (-oo,0)
ii) La funzione decresce in (0,+oo)
DA notare che NON si tratta di una funzione decrescente (in tutto il suo dominio, vedi grafico)
8. Concavità / Convessità
8.1 derivata seconda
y”(x)=e^(1/x)(2x+1)/x⁴
8.2 Flessi
y”(x)=0
2x+1=0
x=-1/2
La derivata seconda cambia di segno per x=-1/2
negativa per x<-1/2 positiva per -1/20 in (-1/2,0) e in (0,+oo)
PS: Ricordati di assegnare i punti alla risposta che giudichi migliore.

Answer 2

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Answer 3

sadadsa

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